Доказательство ♢ロG→G, играющего решающую роль в аргументе в пользу суперсущества. Суть доказательства заключается в рассуждении от противного, когда при ложности доказываемого утверждения получается противоречие. За доказательство спасибо дорогому коллеге с кафедры логики Саше Беликову.
Пояснения
∀ - для всех, для любого
∃ - для некоторого, "найдется"
⋀ - связка "и"
→ - связка "если, то"
ロ - «необходимо, что» «везде и всегда».
♢ - «возможно, что»
w - мир
|p|w - утверждение p в некотором мире
R - отношение достижимости, R(x,y) - из х достижимо y
1. ∀x∀yR(x,y) – свойство логики s5
2. (♢ロp→p)w0=ложно - допущение ложности доказываемого утверждения
3. |♢ロp|w0=истинно (из ложности 2)
4. |p|w0=ложно (из ложности 2)
5. ∃w1(R(w0,w1)⋀|ロp|w1=истинно) (из 3)
6. ∃w1R(w0,w1)⋀∀w2(R(w1,w2)→|p|w2=истинно) (из 5)
7. R(w0,w1)⋀∀w2(R(w1,w2)→|p|w2=истинно) (из 6)
8. R(w0,w1) (из 7)
9. ∀w2(R(w1,w2)→|p|w2=истинно (из 7)
10. R(w2,w0) (из 1)
11. R(w2,w0)→|p|w0=истинно (из 9)
12. |p|w0=истинно (противоречие с 4.) (из 10, 11)
Следовательно, (♢ロp→p)w0=истинно
Как видно, ключ к доказательству - это ∀x∀yR(x,y), которое делает любой мир достижимым из любого. Но так ли это? На этот вопрос я пока отвечать не буду, чтобы терять подписчиков дозированно. Могу лишь обещать, что достижимость миров будет как-нибудь рассмотрена.
