Мир сегодня с "Юрий Подоляка"

Труха⚡️Україна

Паглядзець

Николаевский Ванёк

Паглядзець

Мир сегодня с "Юрий Подоляка"

Паглядзець

Труха⚡️Україна

Паглядзець

Николаевский Ванёк

Паглядзець

сладко стянул

l̶o̶r̶e̶&̶y̶a̶p̶p̶i̶n̶g̶ "математическая" "культура" и комб-алг-топ-болтовня

Рэйтынг TGlist

ТыпПублічны

Вертыфікацыя

Не вертыфікаваны

Надзейнасць

Не надзейны

РазмяшчэннеРосія

МоваІншая

Дата стварэння каналаApr 07, 2020

Дадана ў TGlist

Nov 08, 2023

Я ўладальнік канала

Гісторыя змяненняў

Прыкрепленая група

сладко да гладко

120

Статыстыка Тэлеграм-канала сладко стянул

Падрабязней

Падпісчыкаў

1 256

24 гадз.00%Тыдзень

60.5%Месяц

100.8%

Індэкс цытавання

0

Згадкі0Рэпостаў на каналах0Згадкі на каналах0

Сярэдняе ахоп 1 паста

469

12 гадз.5160%24 гадз.4690%48 гадз.469

17.8%

Узаемадзеянне (ER)

5.33%

Рэпостаў10Каментары0Рэакцыі15

Узаемадзеянне па ахопу (ERR)

37.34%

24 гадз.0%Тыдзень0%Месяц

0.1%

Ахоп 1 рэкламнага паста

469

1 гадз.00%1 – 4 гадз.00%4 - 24 гадз.245.12%

Падрабязней

Падключыце нашага бота да канала і даведайцеся пол аўдыторыі гэтага канала.

Усяго пастоў за 24 гадзіны

0

Дынаміка

Апошнія публікацыі ў групе "сладко стянул"

Усе пасты

31.03.202510:46

Обсуждали с Димой расслоения над окружностью (aka торы гомеоморфных отображений), вроде как поняли что
(1) Спектралка Серра вырождается в такие вот симпатичные короткие точные последовательности
(2) У них не менее симпатичная геометрическая интерпретация: через левую стрелку факторизуется H_*(F) -> H_*(X), а правая стрелка — это "трансверсальное пересечение цикла со слоем"

(Обозначения: если группа G действует на модуле M, то
M^G := {m: g.m=m, ∀g} — подмодуль инвариантов,
M_G := M/span(g.m-m, ∀g,m) — фактормодуль коинвариантов.
Z — это фундаментальная группа окружности, которая действует на гомологиях слоя)

Про mapping tori и open book decompositions наука вообще глубокая,
https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/surgery/torus.pdf
https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/books/knot.pdf
есть ли в книжках формула с картинки? не знаю

29.03.202513:27

кстати, протоколы такого рода заседаний учёных советов обычно выкладывают в сеть (но, видимо, не студенты):
матфак ВШЭ https://math.hse.ru/protokol-US
МИАН (см. в архиве новостей: https://mi-ras.ru/index.php?c=news )

29.03.202512:51

про администрацию факультета ничего не хочу сказать, они действуют в своих интересах а-ля "не выносите сор из избы".

а вот студсовету позор: они не просто не стали протестовать, а даже второй раз замалчивают тот факт что их представителя попросили заткнуться, и он смиренно согласился вопреки интересам студентов)

29.03.202512:43

вот кстати свежий пример:

на мехмате есть студсовет (такая организация студенческого самоуправления). время от времени проходят заседания ученого совета мехмата (а-ля "профессора обсуждают итоги сессии"), которые студентам можно прийти послушать (возможно, уже нельзя). Раньше студсовет мехмата делал текстовые трансляции в своем тг канале (если правильно помню, это продолжалось лет пять).

ровно год назад администрации факультета и учёному совету не понравилось, что пишется в этих трансляциях, и они попросили прекратить (см. скрин из чата, прикрученного к каналу студсовета; это апрель 2024).

В эту пятницу трансляцию решили сделать заново, но её так же резко прекратили вести, и даже стёрли соответствующие посты (тут скринов у меня нет)

28.03.202523:40

про природу зла см. https://www.theguardian.com/science/article/2024/aug/31/alexander-grothendieck-huawei-ai-artificial-intelligence

Пераслаў з:

н. кольский

28.03.202523:40

Причем заметьте, ЕГА, СГА, записки семинара Анри Картана доступны в интернете. «Урожаи и посевы» доступны и даже напечатаны. Даже «Ключи снов» выложены в интернет. Работает целый институт. И только трактат о природе зла на 15 тысяч страниц, которые А.Г. писал последние двадцать лет своей жизни, выращивая в огороде кабачки и делая домашние настойки, до сих пор лежит где-то в архивах. Видимо, что-то там действительно интересное написано
#властискрывают

28.03.202523:40

"creativity fails not only due to exterior (social) repression but largely due to the acceptance and interiorisation of this repression by each person."
https://www.landsburg.com/grothendieck/clef.pdf

28.03.202518:26

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/Exponential_Collatz_Fractal.jpg
Видимо, множество Жюлиа* для
f(z):=z/2+(2z+1)(1-exp(πiz))/4.
Отметим, что f(n)=n/2 при чётных n и f(n)=(3n+1)/2 при нечётных.

*Множество таких z, что последовательность z, f(z), f(f(z)),..., ограничена

Осторожно, разрешение 30720x17280

24.03.202515:05

(3/?) Автоморфизмы и фундаментальная группа (этальная)

Пусть теперь X — алгебраическое многообразие над полем k. Скажем, что морфизм алгебраических многообразий Y->X — "накрытие Галуа", если это этальный морфизм, причём*
|Aut_Y(X)|=deg(Y/X).

Определим этальную фундаментальную группу п^et_1(X) как обратный предел групп Aut_Y(X) по всем накрытиям Галуа.

Теорема (Гротендик, SGA1): если X — алгебраическое многообразие над C, то п^et_1(X) — это проконечное пополнение группы п_1(X^an), фундаментальной группы этого многообразия в комплексной топологии.

(Это следует из "теоремы Римана о существовании", то есть из эквивалентности этальных морфизмов над комплексными алгебраическими многообразиями и конечнолистных накрытий над соответствующими аналитическими пространствами)

То есть, как и обещалось: алгебраическая геометрия помнит что-то о фундаментальной группе комплексного алгебраического многообразия. (Но не всё! см. пример выше, https://t.me/sweet_homotopy/2114)

Не над C всё, видимо, интереснее; в частности, фамилия Галуа, в отличие от топологической ситуации, здесь по делу...

*Степень — это число точек в типичном слое, ну или степень соответствующего расширения полей k(Y):k(X)). То есть определение вполне аналогично топологическому.

24.03.202515:00

(2/?) Автоморфизмы и фундаментальная группа (обычная)

Зафиксируем хорошее топологическое пространство X и рассмотрим категорию "пространств над X": объекты := отображения Y->X, морфизмы := отображения Y1->Y2, согласованные с отображениями в X. Возникает группа автоморфизмов данного объекта Y->X; обозначим её Aut_Y(X).

Ограничимся случаем, когда Y связно и Y->X — накрытие. Теория накрытий говорит, что таких объектов столько же, сколько подгрупп в группе G=п_1(X): а именно, п_1(Y)->п_1(X) всегда инъективно, его образ — и есть подгруппа, соответствующая накрытию; слой над отмеченной точкой — это фактормножество по ней. Если п_1(Y)=H < G, то
Aut_Y(X) = G/N(H),
факторгруппа по нормализатору* H в G. В частности: если подгруппа H нормальна в G (тогда Y->X называют нормальным накрытием, или "накрытием Галуа"), то Aut_Y(X) = G/H. Эквивалентно:
Y->X — накрытие Галуа <=> в слое ровно |Aut_Y(X)| точек.

Нормальные подгруппы в G образуют обратную систему, поэтому соответствующие накрытия Галуа Y->X и их группы автоморфизмов — тоже (если H1 < H2 < G, то возникает гомоморфизм Aut_Y1(X) -> Aut_Y2(X): это в точности G/H1 -> G/H2).

Поэтому: если нам известна "часть накрытий", то мы кое-что можем узнать о фундаментальной группе. Например: если "даны" все конечнолистные накрытия Галуа над X (как полная подкатегория в категории пространств над X), то мы можем восстановить по ним обратный предел от G/H по всем нормальным подгруппам Hпроконечное пополнение (profinite completion) группы G.

*N(H):={g: gHg^-1=H} — это наименьшая нормальная подгруппа в G, содержащая H

24.03.202514:54

захотелось наконец разобраться, что там происходит (и заодно запомнить определения). Здесь может быть много ошибок, всерьез с этим я не разбирался.

(1/?) Этальные морфизмы

Дифференциальная топология во многом опирается на теорему об обратной функции: отображение M -> N многообразий одинаковой размерности является локальным диффеоморфизмом <=> его якобиан ненулевой. То есть "всё можно линеаризовать", или "всё можно проинтегрировать". Это же верно и в комплексной геометрии.

В алгебраической геометрии нет* теоремы об обратной функции. Пример: проекция параболы {y=x²}⊆A² на ось Oy. Это изоморфизм на касательных пространствах (вне начала координат), но на оси Oy нет открытого по Зарисскому подмножества, на котором было бы определено алгебраическое отображение обратно в параболу. По сути, именно такие отображения алгебраических многообразий и называются этальными (étale; это "накрывающий" по-французски). "Формальные, но не локальные, изоморфизмы", что ли.

Строгое определение этального морфизма схем есть на Википедии (не очень наглядное). Несколько фактов, проясняющих дело:
(1) Морфизм гладких многообразий X->Y этальный <=> он задаёт изоморфизмы на касательных пространствах <=> слой над любой точкой — конечное множество приведённых точек;
(2) Если Y — схема, а X ⊆ YxAⁿ — подсхема, заданная n уравнениями, причём проекция X->Y имеет всюду ненулевой якобиан относительно этих n координат, то X->Y этальный;
(3) Морфизм конечного типа f:X->Y этальный <=> Y допускает покрытие, над элементами которого f выглядит как морфизм из (2).
(Это определение из красной книжки Мамфорда.)
(4) Этальные морфизмы конечны и доминантны, индуцируют изоморфизмы на касательных конусах и касательных пространствах;
(5) Если X,Y — алгебраические многообразия над C, то морфизм конечного типа X->Y этален <=> X^an -> Y^an — локальный изоморфизм соответствующих аналитических пространств.

*А "этальная топология" — это история про то, как эту теорему туда "вернуть".

Пераслаў з:

Непрерывное математическое образование

17.03.202523:28

https://sbseminar.wordpress.com/2009/07/28/topology-that-algebra-cant-see/

«Let X be an algebraic variety over ℂ; that is to say, the zero locus of a bunch of polynomials with complex coefficients. We will consider this zero locus as a topological space using the ordinary topology on ℂ. One of the main themes of algebraic geometry in the last century has been learning how to study the topology of X in terms of the algebraic properties of the defining equations.

In this post, I will explain that there are intrinsic limits to this approach; things that cannot be computed algebraically. In particular, I want to explain how from a categorical point of view, we can’t even compute the homology H₁(X,ℤ). And, even if you don’t believe in categories, you’ll still have to concede that we can’t compute π₁(X). This is a very pretty example and it should be more widely known.

Absolutely none of the ideas in this post are original; I think most of them are due to Serre.»

17.03.202523:28

совпало: как раз тоже хотел написать, что настоящую фундаментальную группу алгебраического многообразия (рассматриваемого в комплексной топологии) иногда нельзя восстановить алгебраически (несмотря на триумфы этальной топологии: мы умеем восстанавливать когомологии с конечными коэффициентами, а также проконечное пополнение фундаментальной группы)

Чуть более явный пример, чем в посте на secret blogging seminar, предъявляют Боровой и Корнюлье (более того, в их примере X=G/H — однородное пространство):

пусть G=SL(n,C)×C*, n≥5, и пусть
H={функции Z/11 -> Z/11 вида f(x)=a²x+b}, умножение = композиция. Другими словами, H=Z/11Z полупрямо на Z/5Z={квадратичные вычеты кольца Z/11Z}.

Тогда можно разными способами вложить H в G, и фундаментальные группы полученных пространств G/H будут неизоморфными группами вида "Z/11Z полупрямо на Z"! (Вложения рассматриваем такие: в первый раз H надо вложить в SL(n,C) произвольно, а H->C* отобразить композицией
H -> Z/5Z -> C*, где вторая стрелка — произвольное вложение. Дальше выберем¹ автоморфизм поля C, при котором выбранное вложение Z/5Z -> C* переходит в свой квадрат. Вложение H в SL(n,C) тоже изменим на этот автоморфизм поля. Так мы построили второе вложение H в G)

Построенные вложения сопряжены относительно некоторого автоморфизма поля C. Поэтому алгебраический геометр не почувствует разницы между G/H и G/H!

https://arxiv.org/abs/1505.02323

¹Существование такого автоморфизма — отдельный вопрос, для решения которого, видимо, нужна аксиома выбора: https://math.stackexchange.com/questions/412010/wild-automorphisms-of-the-complex-numbers
То есть отмазка такая: "одинаковость наших многообразий неконструктивна, в модели Соловея для теории множеств её может и не быть".